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Outils de topologie algébrique et géométrique
Jun 25, 2018 to Jul 07, 2018

Location : Université Internationale de Rabat, Maroc

Ecole EMA: Outils de topologie algébrique et géométrique

Cette école représente la troisieme édition de l'Ecole Mathématique Africaine du CIMPA-MIMS, la première ayant été tenue à Tunis (Tunisie) en Mars 2016 et la seconde à Saida (Algérie) en Avril 2017.

Les buts de cette école niveau MASTER sont multiples :

  • Introduire les étudiants maghrébins et africains aux outils de la géométrie moderne. La géométrie et la topologie différentielles et algébriques demeurent les parents pauvres des mathématiques dans nos contrées. Nous avons observé par ailleurs une nette désaffection des étudiants  pour ces domaines dans les pays du Maghreb, ceci étant dû en grande partie à une méconnaissance du domaine.
  • Orienter des étudiants du niveau master vers des sujets de recherche qui sont d’actualité et ayant une certaine ouverture dans l’avenir. Nous avons opté de mettre l’accent sur le côté applications de la géométrie et de la topologie.
  • Repérer les éléments prometteurs, les motiver, les encadrer et aider à aller plus loin.

Organizing Commitee:
Hamid Abchir (coordinateur), Hassan Aaya, Mfeddal Hilali, Mohamed Rachid Hilali, Youssef Rami.

Scientific Commitee:
Malika Ait Ben Haddou, Mohamed Boucetta, Mohamed Hilali, Aziz El Kacimi, Sadok Kallel, Abdelghani Zeghib.

Sponsors:
CIMPA, MIMS, UIR (Rabat)

Cours 1: Aziz EL KACIMI de l’université de Valenciennes

Introduction à la géométrie complexe

Ce cours est une introduction assez élémentaire à la notion de variété complexe. Elle sera basée essentiellement sur des exemples à travers lesquels on verra seulement quelques aspects de la géométrie complexe.

En voici le contenu.

  1. Rappels sur les fonctions holomorphes d'une variable complexe et de leurs propriétés, lemme de Schwarz, singularités (pôle, singularité essentielle). Théorème de Weierstrass, théorème de Picard.
  2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. Notion de variété complexe. Quelques exemples.
  3. Automorphismes d'une variété complexe. Revêtement holomorphe et construction de variétés complexes par actions de groupes.
  4. Retour à la dimension 1 : les surfaces de Riemann. Les trois principales simplement connexes : la droite complexe C, la droite projective complexe P1(C) et le demi-plan supérieur H. Toute surface de Riemann compacte est le quotient de l'une de ces trois par un groupe d'automorphismes.
  5. Les courbes elliptiques : réseaux dans C, le groupe modulaire   Γ= PSL(2; Z), les structures complexes sur le tore T2 et leur équivalence.

Cours 2: Hamid ABCHIR de l’université Hassan II

Topologie Différentielle et Applications

On se propose de donner un aperçu sur certains outils de base nécessaires pour étudier la topologie des variétés :

  1. La première partie sera dédiée à une introduction à la topologie différentielle. On énoncera le théorème de la valeur régulière, le théorème de transversalité et le théorème de plongement de Whitney dans le contexte des variétés à bord.
  2. La deuxième partie sera dédiée à la théorie de Morse. On définira les fonctions de Morse, on énoncera le lemme de Morse puis on donnera un aperçu sur l'intérêt de telles fonctions dans la description de la topologie d'une variété.
  3. Ensuite, on donnera quelques exemples d'application de cette théorie, comme la classification des surfaces ou la décomposition de Heegaard des 3-variétés.
  4. Finalement on introduira l’homologie de Morse.

Cours 3 : Vincent BORRELLI de l’université de Lille 1

Intégration convexe et fractale lisse

Le but de ce cours est de présenter les fondements d'une théorie inventée par M. Gromov dans les années 70-80 et permettant des résolutions constructives de certaines relations aux dérivées  partielles : l'intégration convexe. D'abord confinée aux seuls  spécialistes, cette théorie s'est popularisée dans les années 2000  après les travaux de L. Székelyhidi et C. De Lellis sur les solutions  paradoxales de l'équation d'Euler. Plus récemment encore, elle a permis la construction explicite et la visualisation de plongements  isométriques C^1 d'un tore plat et d'une sphère réduite, ainsi que la  mise en évidence de leur géométrie en fractale C^1.

Dans ce cours, on s'intéressera aux cas 1-dimensionnel (celui des  courbes) et 2-dimensionnel (surfaces). On présentera également le procédé de Nash-Kuiper de construction de plongements isométriques C^1 et on décrira la géométrie en fractal C^1 des objets ainsi construits.

Cours 4 : Abdelhak ABOUQATEB de l’université Cadi Ayyad

Introduction à la géométrie des fibrés principaux

Le fibré tangent d’une variété différentiable M peut être interprété comme fibré associé à un fibré principal, le fibré des repères en est un exemple. Pour un espace homogène G=H on peut aussi considérer le fibré G ! G=H. Selon la formulation du problème étudié, on peut utiliser des outils de géométrie différentielle sur des fibrés vectoriels ou sur des fibrés principaux. Il y a souvent une correspondance biunivoque entre les deux approches, mais une loi de dérivation par exemple sur un fibré tangent peut ne pas provenir d’une connexion sur le fibré principal d’origine. Il est important de décrire dans un langage propre aux fibrés principaux, certains objets géométriques sur M (fonctions, champs de vecteurs, formes différentielles, connections).

Voici le plan que nous allons adopter lors de ce mini-cours :

  1. Actions de groupes de Lie (actions propres - espaces homogènes - triplets de Clifford-Klein – fibrés associés).
  2. Fibré tangent d’un espace homogène (Parallélisabilité d’un espace homogène et problème d’existence d’une métrique riemannienne invariante).
  3. Formes à coefficients dans un fibré vectoriel et formes tensorielles à valeurs dans un G-module.
  4. Champs de vecteurs sur un fibré principal (champs verticaux, champs invariants et champs projetables).
  5. Connections sur un fibré principal.
  6. Connections invariantes sur un espace homogène.

Références :

[1] A. Abouqateb et D. Lehmann : Classes caractéristiques et résidus en Géométrie différentielle. Editions Ellipses 2010. [2] W. Greub, S. Halperin and R. Vanstone: Connections, Curvature, and Cohomology. Vol. I,II Academic Press 1972/1973. [3] J.L. Koszul : Lectures On Fibre Bundles and Differential Geometry. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1960. [4] S. Kobayashi and K. Nomizu : Foundations of Differential Geometry. Vol I & II. John Wiley 1963.

Cours 5 : (Tornike KADEISHVILI  de A .Razmadze Mathematical Institute of Tbilisi State University, et Mohamed Rachid HILALI de l’université Hassan II )

Operads in Algebraic Topology

The main ideas of algebraic topology are to assign to a topological space certain algebraic object (model) of which algebraic structure tries to capture the intricate geometry of the space. Examples of such models are chain and cochain complexes, homology and homotopy groups, cohomology algebra, etc. The main problem here is to find models that classify spaces up to some equivalence relation, such as homeomorphism, homotopy equivalence, rational homotopy equivalence, etc. But usually such models are not complete, they cannot do this, they can just distinguish spaces. The models which carry richer algebraic structure contain more information about the space. For example the model "cohomology algebra" allows to distinguish spaces, which cannot be distinguished by the model "cohomology groups". More algebra – more information!

Through the years, topologists constructed various additional structures on classical models: Steenrod operations, Massey products, various types of homotopy A-infty algebras. One of the most appropriate ways to describe these huge algebraic structures is by means of operads, which we will introduce and put to use.

Semaine 1 : Lundi 25 juin au vendredi 29 juin 2018

Cours

Titre

Volume horaire

Enseignant

Université

1

Introduction à la Géométrie Complexe

   10 heures

Aziz El Kacimi

Valenciennes

2

Topologie Différentielle et Applications

   10 heures

Hamid Abchir

Hassan II

3

Intégration convexe et fractale lisse

   9 heures

Vincent Borrelli

Lyon I

 

Semaine 2 : Lundi 02 juillet au vendredi 06 juillet 2018

Cours

Titre

Volume horaire

Enseignant

Université

1

Atelier de Géométrie

   10 heures

Aziz El Kacimi

Valenciennes

2

Outils de Topologie algébrique et Géométrie

   10 heures

M.Rachid. Hilali

Tornike Kadeishvili

M. Amann

Hassan II

3

Introduction à la géométrie des fibrés principaux

  10 heures

Abdelhak Abouqateb

Cadi Ayyad

L'ecole se tiendra a l’Université Internationale de Rabat ou UIR

http://www.uir.ac.ma/

L'UIR est une université publique à gestion privée fondée en 2010.

L’Université Internationale de Rabat propose une offre de formation pluridisciplinaire qui couvre de nombreux domaines de formation. Ses 12 pôles de formation et de recherche délivrent des enseignements de haut niveau, nourris par les activités de recherche et par les étroites relations tissées avec le monde industriel et professionnel.

List of participants to this conference
Jun 25, 2018 to Jul 07, 2018

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Email : secretary@mims.tn