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Aspects algorithmiques en algèbre, analyse, géométrie et topologie
Oct 24, 2017 to Oct 26, 2017

Location : IHET, Sidi-Dhrif, Tunisie

Le thème de cette conférence s'articule autour des aspects algorithmiques en algèbre, analyse, géométrie et topologie. Les exposés proposeront de décrire différents problèmes liés au calcul de notions fondamentales dans ces thématiques variées, en allant de l'étude des EDO/EDP à la cohomologie étale en passant par la théorie des codes ou l'étude des fonctions L. Les exposés sont prévus pour une audience large.

Organizing Commitee:
Nizar Demni, Julien Sebag, Inès Saihi

Sponsors:
Université de Rennes 1, ANR, MIMS.

Zied Ammari (Université de Rennes 1)
Ali Baklouti (Université de Sfax)
Delphine Boucher  (Université de Rennes 1)
François  Boulier  (Université de Lille 1)
Christophe Delaunay (Universié de Franche-Comté)
Sadok Kallel (American University of Sharjah)
François Lemaire  (Université de Lille 1)
Fabrice Orgogozo (CNRS, Ecole polytechnique)
Adrien Poteaux (Université de Lille 1)
Alban Quadrat  (Inria Lille)
Ines Saihi (Université de Tunis el Manar)

 

 

 

Mardi 24/10

Mercredi 25/10

Jeudi 25/10

9h-11h

F. Boulier

F. Lemaire

A. Quadrat

Pause café

Pause café

Pause café

Pause café

11h20-12h20

F. Orgogozo

D. Boucher

F. Orgogozo

Pause déjeuner

Pause déjeuner

Pause déjeuner

Pause déjeuner

13h50-14h50

A. Poteaux

Z. Ammari

C. Delaunay

15h-15h30

S. Kallel

Z. Ammari

I. Saihi

Pause café

Pause café

Pause café

Pause café

16h-17h

C. Delaunay

A. Baklouti*

A. Poteaux

Zied Ammari (Université de Rennes 1)

Flot presque partout des equations differentielles et equations de Liouville.

Résumé: J'exposerai quelques résultats d'existence et d'unicité des solutions pour des équations différentielles avec des champs de vecteurs non-linéaires peu réguliers (en dimension finie/infinie). J'expliquerai
en particulier le lien avec les équations de Liouville.

Delphine Boucher (Université de Rennes 1)

Quelques aspects des codes différentiels tordus

Résumé: Dans cet exposé, on s'intéresse a une classe de codes d'évaluation "tordus" définis a l'aide d'un anneau de polynomes de Ore. Apres avoir donné quelques propriétés de ces anneaux utiles pour la suite, on s'interessera a des conditions suffisantes d'optimalité pour ces codes. Puis on exposera un algorithme de décodage et on cherchera a montrer quelles sont ses limites.

François Boulier (Université de Lille 1)

Introduction a l'algebre différentielle avec application a l'estimation de parametres

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai les principes de base de l'algebre différentielle et je montrerai comment les appliquer au probleme de l'estimation de parametres dans les systemes dynamiques présentés sous la forme de systemes d'equations différentielles non linéaires. L'exposé sera illustré d'exemples traités grace a un logiciel de calcul formel.

Christophe Delaunay (Université de Franche-Comté)

Aspects explicites des fonctions L en arithmétiques et applications

Résumé : Dans une premiere nous motiverons l'importance de l'utilisation des fonctions L en arithmétique a travers plusieurs exemples explicites. Puis, nous expliquerons comment evaluer efficacement certaines fonctions L et donnerons quelques applications.

François Lemaire (Université de Lille 1)

Intégration de fractions différentielles

Résumé : L'exposé s'inscrit dans le contexte de l'algebre differentielle. Dans un premier temps, nous verrons une methode pour integrer un polynome differentiel $p$, c'est-a-dire une methode calculant deux polynomes $q$ et $r$ tel que $p = \delta q + r$ ou $\delta$ est une dérivation fixée a l'avance, et $r$ est la partie non intégrable de $p$. Cette intégration est intéressante d'un point de vue numérique notamment pour l'estimation de parametres. Dans un deuxieme temps, nous généraliserons cette intégration à des fractions.

[Référence : Additive normal forms and integration of differential fractions
(Boulier,Lemaire, Lallemand, Regensburger, Rosenkranz)
http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2937574]

Fabrice Orgogozo (CNRS, Ecole Polytechnique)

Sur le calcul d'invariants topologiques de variétés algébriques en caractéristique positive

Résumé:  De même que les topologues associent à des espaces, comme la sphère {(x_ ,...,x_n)   ^n: x_ ^2+  +x_n^2=1}, des invariants numériques (nombres de Betti), Alexander Grothendieck a construit pour chaque anneau commutatif, comme  /p [X_1,...,X_n]/(X_1^2+  +X_n^2-1) pour p un nombre premier, — ℤℤ⋯ ou plus généralement un schéma - des invariants de sa «forme», dans cette situation d'apparence discrète. Nous commencerons par parler du cas classique où l'anneau est un corps, en expliquant comment on peut calculer (des quotients) de son groupe de Galois, qui est l'analogue du groupe fondamental des topologues.  Nous donnerons ensuite un aperçu d'une construction des groupes de cohomologie étale de variétés algébriques, donnant naissance aux invariants de Grothendieck sus-mentionnés, en mettant l'accent sur l'aspect a priori non constructif de sa définition, à tel point que la finitude même de ces groupes soit loin d'être évidente. Enfin, nous esquisserons un raffinement (obtenu en collaboration avec David Madore) des théorèmes de finitude de Grothendieck et Pierre Deligne, selon lequel on peut, en théorie, calculer les nombres de Betti étales, du moins dans le cas des coefficients de torsion.

[Référence: http://msp.org/ant/2015/9-7/ant-v9-n7-p04-s.pdf]

Adrien Poteaux (Université de Lille 1)

Calcul du groupe de monodromie d’une courbe algebrique plane

Résumé:  Soit $K$ un corps de nombres.  Soit $F\in K[x, y]$ un polynôme bivarié et sans facteur carré. Notons $C = {(x_0, y_0)\in C^2 | F(x_0, y_0) = 0}$ la courbe algébrique plane associée. Dans [1], Mark van Hoeij et Bernard Deconinck décrivent le calcul de la matrice des périodes d’une courbe algébrique plane, qui est une première étape pour obtenir une version effective du célèbre théorème d’Abel-Jacobi. Pour calculer une base canonique de l’homologie de la surface de Riemann (nécessaire au calcul des périodes), leur méthode utilise un résultatde Tretkoff et Tretkoff [3], qui réduit la construction de cette base au calcul du groupe de monodromie du revêtement associé à la courbe C. Néanmoins, leur algorithme de calcul de monodromie (commande algcurves[monodromy] de Maple) n’est pas complètement fiable, et nécessite parfois une intervention humaine pour terminer. Par exemple, si l’on considère le polynôme $F(x, y) = y^4 − 200 y^2 + 40 y − 2 − x$, l’algorithme
monodromy nécessite 60 chiffres de précision pour rendre un résultat, et tout appel à cette fonction effectué avec une précision moindre renvoie ainsi un message d’erreur. Pour résoudre ces problèmes, nous proposons un nouvel algorithme pour calculer le groupe de monodromie d’une courbe algébrique plane. Les principaux points de notre stratégie sont les suivants :
– Nous utilisons un arbre de recouvrement minimum pour la distance euclidienne de l’ensemble des points critiques augmenté du point de base ; ceci permet de reduire la longueur totale des chemins que nous aurons à suivre.
– Nous relions les fibres entre deux points intermédiaires à l’aide de développements en série tronqués à un ordre contrôlé. Nous donnons notamment des bornes sur les ordres de troncation afin d’avoir des connexions certifiées, et un compromis entre le nombre de points intermédiaires et les ordres de troncations utilisés.
– Nous utilisons des d ́eveloppements en série au-dessus des points critiques. Ces derniers décrivent les fonctions lorsqu’elles sont prolongées le long d’un arc de cercle autour d’un point critique, et fournissent la monodromie locale. Le calcul de ces séries de Puiseux au-dessus d’un point critique n’étant pas une tache aisée, nous décrirons un algorithme symbolique-numérique pour calculer une approximation des coefficients de ces séries. Sommairement, notre straté gie pour ce faire est la suivante :
1. On calcule ces séries de Puiseux modulo un nombre premier p bien choisi, de telle sorte que la structure des séries de Puiseux, que nous stockons dans l’arbre des polygones , est préservée par réduction modulaire.
2. Nous montrons comment suivre cet arbre des polygones pour guider un calcul numérique des coefficients, à l’aide d’un filtre à deux étages ; en particulier, nous utilisons des outils liés aux pgcd approchés pour relier les informations symboliques et numériques à notre disposition. Ceci est un travail effectué dans le cadre de ma
thèse [2] à l’université de Limoges, en collaboration avec Marc Rybowicz.

[Références:
[1] B. Deconinck and M. van Hoeij. Computing Riemann Matrices of Algebraic
Curves. Phys.D, 152/153 :28–46, 2001. Advances in Nonlinear Mathematics and Science.
[2] Adrien Poteaux.  Calcul de développements de Puiseux et application au calcul de
groupe de monodromie d’une courbe algébrique plane. PhD thesis, Université de
Limoges, 2008
[3] C.L. Tretkoff and M.D. Tretkoff. Combinatorial Group Theory, Riemann Surfaces
and Differential Equations. Contemp. Math., 33 :467–517, 1984]

Alban Quadrat (INRIA, Lille)

Problèmes algorithmiques de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires

Résumé: Dans cet exposé, nous étudions certains aspects algorithmiques de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Même si cette algèbre n'est pas noethérienne et admet des diviseurs de zéro, Bavula a récemment montré qu'elle était cohérente, ce qui permet le développement d'une théorie algébrique des systèmes linéaires sur cette algèbre. Pour une approche algorithmique des systèmes linéaires d’équations intégro-différentielles ordinaires avec conditions aux bords, le calcul du noyau de matrices à coefficients dans cette algèbre est un problème fondamental. Pour cela, dans un premier temps, nous sommes amenés à calculer les annulateurs d'opérateurs intégro-différentiels, problème qui, à son tour, est relié au problème du calcul des solutions polynomiales de tels opérateurs. Pour une classe d'opérateurs linéaires incluant les opérateurs intégro-différentiels, nous présentons une approche algorithmique pour le calcul des solutions polynomiales et de l'indice. Un ensemble générateur des annulateurs à droite d'un opérateur intégro-différentiel est alors construit grâce au calcul de solutions polynomiales. Pour les problèmes avec conditions initiales, une involution de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels nous permet ensuite de calculer les annulateurs à gauche, qui peuvent être interprétés comme des conditions de compatibilité d’équations intégro-différentielles avec conditions aux bords. Nous illustrons notre approche à l'aide d'une implémentation dans le système de calcul formel Maple.

List of participants to this conference
Oct 24, 2017 to Oct 26, 2017

Participant Institution
Zied Ammari Université de Rennes 1
draouil belgacem IPEST
Skander Belhaj ISAMM
Aziz Ben Ouali IPEI Monastir
Marwa Bouali Faculté des Sciences de Tunis
Mohamed Amine Boubatra Faculty of Mathematical, Physical and Natural Sciences of Tunis
Delphine Boucher Université de Rennes 1
François Boulier Université de Lille 1
Dorra Bourguiba Faculté des Sciences de Tunis
Seifallah Cherif Université El Manar, Tunis
Christophe Delaunay Université de Franche-Comté
Nizar Demni Université de Rennes 1
Moncef Ghazel IPEIM
Aymen Hammami Faculté des sciences de Tunis
aymen Hammami faculté des sciences de tunis
Ammar Hamza institut préparatoire aux études d'ingénieurs de bizerte
Abdelwaheb Ifa Institut supérieur des mathématiques appliquées et d'informatique de Kairouan
Sadok Kallel American University of Sharjah
kerfaf khawla Faculté des Sciences de Tunis
Mohamed Walid KHAZNAJI Université SESAME
François Lemaire Université de Lille 1
Fabrice Orgogozo CNRS, Ecole polytechnique
Adrien Poteaux Université de Lille 1
Alban Quadrat INRIA, Lille
Ines Saihi Faculté des Sciences de Tunis
Julien Sebag Université de Rennes 1
nesrine tabchouche university of ferhat abbas sétif 1
Marwa TROUDI Faculté des sciences Tunis
Contact
Email : secretary@mims.tn